ହରଣ କିପରି କରାଯାଏ ?

ଗଣିତରେ ହରଣ ହେଉଛି ଆମ ଚାରୋଟି ମୂଳ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ମଧ୍ୟରୁ ଏକ ଏହା ସହିତ ଅନ୍ୟ ଗୁଡିକ ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ, ହରଣ ଆମ ଦୈନଦିନ ଜୀବନରେ ଯେପରି ତୁମ ପାଖରେ 30 ଟି ଚକଲେଟ ଅଛି ତ ତାକୁ ତୁମେ କିପରି ତାକୁ 5 ଟି ପିଲାଙ୍କ ମଧ୍ୟ ରେ କେମିତି ସମସ୍ତ ପିଲା ମାନଙ୍କର ଭିତରେ ସମାନ ଭାବ ରେ ବାଣ୍ଟି ବା ତାହା ଆମେ ହରଣ ଦ୍ଵାରା ଜାଣିବା ।

ହରଣ କ’ଣ ?ଏବଂ ଏହାର ସଙ୍କେତ

ହରଣ ହେଉଛି କୌଣସି ଏକ ପରିମାଣ/ ସଂଖ୍ୟା କୁ ସମାନ ଭାଗ କରିବା ପ୍ରକ୍ରିୟା ଯାହାକି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା କୁ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା କେତେଥର ଭାଗ କରି ପାରିବା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରେ। ହରଣ ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର ହେଉ ଥିବା ସଙ୍କେତ ହେଉଛି(÷) , (/)। ଏହା ଏ ପରି (8÷2) (8÷4) (80÷20) ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଦିୟାଯାଏ ।

ହରଣ ର ସାଧାରଣ ରୂପ :-

ଭାଜ୍ୟ÷ଭାଜକ=ଭାଗଫଳ , କିମ୍ବା ଭାଜ୍ୟ/ଭାଜକ=ଭାଗଫଳ ଉଦାହରଣ :- 30÷5 ଓ 30/5 ଏପରି ଆମେ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ର ମଧ୍ୟ (÷,/) ରେ ସଙ୍କେତ ବ୍ୟବହାର କରୁ । ଏଠାରେ 30 ହେଉଛି ଭାଜ୍ୟ ,ଯାହାକୁ ଭାଜକ ଭାଗ କରାଯିବ । ହେଉଛି ଭାଜକ ଯେଉଁଥିରେ ଭାଜ୍ୟ କୁ ଭାଗ ଓ ହେଉଛି ଭାଗଫଳ ମାନେ ଏତିକି ଭାଗ କରାଯାଇ ପାଇଁ ହରଣ କଲେ । ଯଦି ହରଣ କଲା ବେଳେ କିଛି ବଳକା ରହିଯାଏ ତାକୁ ଭାଗଶେଷ

ହରଣ କିପରି କରାଯାଏ ?

ସାଧାରଣତଃ ହରଣ କରିବାକୁ ହେଲେ ଆମକୁ 1ରୁ 25 ପଣିକିଆ ଆସିବା ଦରକାର

ସ୍ତର-1 [କେବଳ ପଣିକିଆକୁ ନେଇ ହରଣ ]

8÷2, 18÷2, 21÷3, 35÷5, 18÷6, 49÷7 72÷8, 72÷9 99÷11 , 105÷21

ଏହି ପରି ହରଣ ଯାହା କି ଆମେ ପଣିକିଆ ଖନ୍ଦ।ରେ ଥିବା , ସଂଖ୍ୟାର ହରଣ ଆମେ ପଣିକିଆ ସାହାର୍ଯ୍ୟରେ କରିଥାଉ ।

ଯେପରି – 4÷2

ଏଠାରେ 4 ଭାଜ୍ୟ ଓ 2 ଭାଜକ । 4 କୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରିବ । ତେଣୁ ଦୁଇ ଖନ୍ଦା ଗାଇ ଏହି ପଣିକିଆଖନ୍ଦାର କେଉଁଠି ଆସୁଛି ଦେଖିବା । ଦୁଇ ଦୁଇ ଗୁଣେ ଆଠ , (ଦୁଇ ଗୁଣେ =2 ) ରେ ଆସୁଛି ଯାହା ଏହାର ଉତ୍ତର / ଭାଗଫଳ

8÷2 =4 ( ଦୁଇ ଚଉ ଆଠ,ଚଉ ଭାଗଫଳ)

21÷3 =7 ( ତିନି ସତ। 21 , ସତା/ 7 ଭାଗଫଳ)

72÷9 =8 (9 ଅଷ୍ଟା 72 , ଅଷ୍ଟା/8 ଭାଗଫଳ)

91÷13 =7 ( 13 ସତା 91 , ସତା/ 7 ଭାଗଫଳ)

8÷2=4, 18÷2=9, 21÷3=7, 35÷5=5, 18÷6=3, 49÷7=7 72÷8=9, 72÷9=8 99÷11=9 , 105÷21=5

କିନ୍ତୁ , 24÷2,ଏଠାରେ 24 ଦୁଇ ର ପଣିକିଆ ଖନ୍ଦା ରେ ନ।ହିଁ । ଏପରି ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ପଣିକିଆ ଖନ୍ଦା ରେ ନ।ହିଁ ତାକୁ କରିବାର ଅଲଗା ପଦ୍ଧତି ରହିଛି ଯାହା ଆମେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସ୍ତର ରେ ଶିଖିବା …

ସ୍ତର-2[ ପଣିକିଆ ରେ ନ ଥିବା ର ହରଣ ]

144÷12, 24÷2, 55÷5, 39÷3, 484÷4, 3693÷3, 172÷2 , 342÷3, 1565÷5, 3402÷9

ଏହିପରି ଭାଜ୍ୟ ଯାହା ପଣିକିଆ ଖନ୍ଦାରେ ନ ଥାଏ । ତାକୁ ଆମେ ଲମ୍ବା ଭାଗକ୍ରିୟା ପଦ୍ଧତି ସାହାର୍ଯ୍ୟ ରେ ହରଣ କରିଥାଉ ।

ଏବେ ଏହି ପ୍ରଣାଳୀ ବ୍ୟବହାର କରି ହରଣ କରିବା ଜାଣିବା:

step -1 ତଳ ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇ ଥିବା ଭଳି, ଭାଜ୍ୟ କୁ ଭିତରେ ରଖି, ଭାଜକର ତାର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ରେ ଓ ଭାଗଫଳ କୁ ଡାହାଣ ପଟେ ଲେଖିଥାଉ

ଯେତେବେଳେ ହରଣ ଆରମ୍ଭ କରୁ ପ୍ରଥମେ ଆମେ ବାମରେ ତ ଥିବା ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କକୁ ପଣିକିଆ ରେ ହରଣ କରିଥାଉ । ହରଣ ର ଭାଗଫଳ ଲେଖି । ଯାହା ଭାଗଫଳ ର ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ

Step-2 ହରଣ କରିବା ଭାଜ୍ୟ ର ବାମ ରେ ଥିବା ଅଙ୍କ ରୁ ଆରମ୍ଭ କରିଥାଉ । ଭାଜ୍ୟ ର ଅଙ୍କ କୁ ଦେଖି ସମାନ ବା ଟିକିଏ ଛୋଟ ଭାଜକର ଗୁଣଫଳ ନେଇ ସେଇ ଭାଜ୍ୟର ତଳେ ରଖୁ ଓ ଗୁଣକକୁ ଭାଗଫଳ ରେ ରଖୁ ଯାହା କି ଭାଗଫଳ ର ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ ।

step-3 ଲେଖିଥିବା ଗୁଣଫଳ କୁ ଭାଜ୍ୟରୁ ବିଯୋଗ କରୁ ।

Step-4 ଭାଜ୍ୟ ର ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଙ୍କ କୁ ତଳ ରେ ଓହ୍ଲାଇ ବିଯୋଗଫଳ ର ଡ଼ାହାଣ ରେ ରଖୁ ।

Step-5 ପୁନର୍ବାର ସମାନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ହରଣ କରି ଭାଜକର ଗୁଣକ କୁ ପ୍ରଥମ ଭାଗଫଳର ଡ଼ାହାଣରେ ଲେଖୁ । ଏପରି ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ଦୋହରାଇବା ପଡେ ଯେତେ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଉତ୍ତର

Step-5 ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟା କୁ ଭାଜ୍ୟ ର ସମସ୍ତ ଅଙ୍କ କୁ ନ ଓହ୍ଲାଇ ବା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଦୋହରାଇବା କୁ ପଡେ ।

ଏପରି ଏହି ପ୍ରଣାଳୀ ଭାଜ୍ୟର ସମସ୍ତ ଅଙ୍କ ସାରିବା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଦହରାଇବା ପଡେ [ଭାଗଫଳ କିମ୍ବ। ଭାଜକ ରୁ କମ ]

ଭାଗଫଳ-

Step-1 ଭାଜ୍ୟ ର (639)ବାମ ରେ ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ 6 ଅଛି । 6 କୁ ଭାଜକରେ (3) ହରଣ କରିବା । 3×2 =6, ଗୁଣଫଳ କୁ (6) ସେହି ଭାଜ୍ୟ ର (6) ତଳରେ ରଖିବା ଗୁଣନ ର ଗୁଣକକୁ (2) ଭାଗଫଳ ରଖିବା ।

Step-2 ଭାଜ୍ୟ ରୁ (6) ଗୁଣଫଳ (6) କୁ ବିଯୋଗ କରିବା 6-6=0

Step-3 ଭାଜକ ର ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଙ୍କ କୁ (3) ଓଲହାଇ କରି ଥିବା ସୋପନ ପୁଣି ଦେହରାଇବା 3 ଗୁଣଫଳ ଔ 1 ଗୁଣକ ।

ଉଦାହରଣ 1- 639÷3

ଲେଖି ଥିବା ହରଣରେ , 639 ଭାଜ୍ୟ ଓ 3 ଭାଜକ ।

Step-1, 639 ର(ଭାଜ୍ୟ) ବାମ ରୁ ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ 6, ତେଣୁ 3 ର (ଭାଜକ) ଏପରି ଗୋଟିଏ ଗୁଣଫଳ ଦେଖିବା ଯାହା 6 କିମ୍ବା ଟିକିଏ ସାନ ହେବ । 3×2=6, 6 ର (ଭାଜ୍ୟ) ତଳେ 6 କୁ (ଗୁଣଫଳ) ଓ 2 କୁ ( ଗୁଣକ ) କୁ ଭାଗଫଳ ଲେଖିବା

Step-2, ଲେଖିବା 6 ତଳେ 6 କୁ ବିଯୋଗ କରି (6-6=0) 0 କୁ ତଳେ ରଖିବା ।

Step-3, ଏବେ ଭାଜ୍ୟର ପରବର୍ତ୍ତୀ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କ 3 କୁ ଓହ୍ଲାଇ ପୁଣି ସମାନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ହରଣ କରିବ। [3×1=3; 3-3=0] , ଭାଗଫଳ ରେ ଡାହାଣରେ । ଓ ବିଯୋଗଫଳ 0 ।

Step-4, ପୁଣି 9 କୁ ଓହ୍ଲାଇ ପୁଣି ସମାନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ହରଣ କରିବ । [33=9, 99=0]। ଭାଗଫଳର ଡାହାଣରେ । ଓ ବିଯୋଗଫଳ= 0 ବର୍ତ୍ତମାନ ଭାଜ୍ୟର ସବୁ ଅଙ୍କ ସରିଗଲା ଓ ଶେଷ ବିଯୋଗଫଳ 0 ଅଛି । ତେଣୁ ଏହି ହରଣ ର ଭାଗଫଳ = 213 ଓ ଭାଗଶେଷ =0

ଉଦାହରଣ 2 – 523÷3

Step-1, 523 ର(ଭାଜ୍ୟ) ବାମ ରୁ ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ 5, ତେଣୁ 3 ର (ଭାଜକ) ଏପରି ଗୋଟିଏ ଗୁଣଫଳ ଦେଖିବା ଯାହା 5 କିମ୍ବା ଟିକିଏ ସାନ ହେବ । 3×1=3, 5 ର (ଭାଜ୍ୟ) ତଳେ 3 କୁ (ଗୁଣଫଳ) ଓ 1 କୁ ( ଗୁଣକ ) ଭାଗଫଳ ଲେଖିବା

Step-2, ଲେଖିବା 5 ତଳେ 3 କୁ ବିଯୋଗ କରି (5-3=2) 2 କୁ ତଳେ ରଖିବା ।

Step-3 ଏବେ 2 ଶେଷ ରହିଲା ସହିତ ଭାଜ୍ୟର ପରବର୍ତ୍ତୀ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କ 2 କୁ ଓହ୍ଲାଇ ତାର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ରଖିବା ଓ ପୁଣି ସମାନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ହରଣ କରିବ। [3×7 =21 ; 22-21=1] , ଭାଗଫଳ ରେ ଡାହାଣରେ । ଓ ବିଯୋଗଫଳ 1 ।

Step-4 ପୁଣି 3 କୁ ଓହ୍ଲାଇ ପୁଣି ସମାନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ହରଣ କରିବ । [3×4=12, 13-12=1]। ଭାଗଫଳର ଡାହାଣରେ । ଓ ବିଯୋଗଫଳ= 1 ବର୍ତ୍ତମାନ ଭାଜ୍ୟର ସବୁ ଅଙ୍କ ସରିଗଲା ଓ ଶେଷ ବିଯୋଗଫଳ 1 ଯାହା କି ଭାଜକ ରୁ ଛୋଟ । ତେଣୁ ଏହି ହରଣ ର ଭାଗଫଳ = 174 ଓ ଭାଗଶେଷ =1

ସ୍ତର -3 [ ଯେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ର ହରଣ ]

ଏହି ସ୍ତର ରେ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାର କଷ୍ଟକର ହରଣ କରିବା ଶିଖିବା ।

(i) 123 ÷3, 456÷ 5

(ii) 4515÷ 9 , 1005 ÷5 , 3913÷ 13, 1184÷ 16

(iii) 3676÷ 17, 65035 ÷29, 8036÷ 81

(i) 123÷3, 456÷5

ଏପରି ହରଣ ରେ ଦେଖିଲେ , ଭାଜ୍ୟର ବାମ ରୁ ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କଟି ଭାଜକରୁ ଛୋଟ ଅଛି । ଏପରି ଥିଲେ , ଆମେ ପ୍ରଥମରୁ ପ୍ରଥମ ଦୁଇ ଟି ଅଙ୍କ କୁ ନେଇ ହରଣ କରିବା ଆରମ୍ଭ କରିଥାଉ । ଏହାପରେ ଆମେ ଶିଖିଥାଉ । ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ଦେହରାଇ ଥାଉ । ଯାହା ଯେପରି ତଳ ଚିତ୍ର ରେ ଦେଖୁ ଥିବ ।

(ii) ଏପରି ଭାଜକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହେଇଥିଲେ ଆମେ ଭାଜ୍ୟ ର ବାମ ପଟୁ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କରେ ଭାଜକକୁ ହରଣ କରିବା ଆରମ୍ଭ କରୁଥାଉ ।ଯାହା ଯେପରି ତଳ ଚିତ୍ର ରେ ଦେଖୁ ଥିବ।

(iii) ଏପରି ହରଣକୁ ପୂର୍ବରୁ ପଡିଥିବା ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ନେଇ ଆରମ୍ଭ କରିଥାଉ । ଏଭଳି ହରଣ ର ମଝି ରେ ଭାଜ୍ୟ ଭାଜକରୁ କମ ହୋଇଥାଏ । [ଏପରି ପରିସ୍ଥିତି ହେଲେ ପିଲାମାନେ ଭୁଲ କରି ଦିଅନ୍ତି । ଯାହା ଏବେ ଆମେ ଉଦ।ହରଣ ନେଇ କିପରି କାରଯାଏ ଶିଖିବା ।

123 ÷3=41 , 456÷ 5 = 91.2

(ii) 4515÷ 9 , 1005 ÷5 , 3913÷ 13, 1184÷ 16

ଉଦାହରଣ – 4515÷9

ଲେଖିଥିବା ହରଣ ରେ 4515 ଭାଜ୍ୟ ଓ 9 ଭାଜକ ।

step-1 ଭାଜ୍ୟ ର ବାମ ପଟୁ ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ 4 , ଏହା ଭାଜକରୁ ଛୋଟ । ତେଣୁ ଭାଜ୍ୟ ର ବାମ ପଟୁ ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କ 45 କୁ ନେଇ ପରେ ହରଣ କରିବା । [9×5=45, 45-45=0] ଭାଗଫଳ 5 ଓ ବିଯୋଗଫଳ 0 ।

step-2 ଏବେ , ଭାଜ୍ୟର ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଙ୍କ କୁ ଓହ୍ଲାଇବା କିନ୍ତୁ ଭାଜ୍ୟ । ହିଁ ଅଛି ତାହା 9 ରୁ ଛୋଟ । ସେଥିପାଇଁ ଏଠାରେ ଆମକୁ (90=0) କରି ଭାଗଫଳ ରେ 0 ଲେଖୁ ଓ ଭାଜ୍ୟ ତଳେ 0 ଲେଖି ବିଯୋଗ କରୁ । [1-0=1]

step-3 ଏବେ ଭାଜ୍ୟ ର ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଙ୍କ 5 କୁ ଓହ୍ଲାଇ 1 ର ଡାହାଣ ରେ ରଖି । ନୂଆ ଭାଜ୍ୟ 15 କୁ ପୁଣି ସମାନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ରେ ହାରିବା [9×1=9, 15-9=6] ହରଣ ଶେଷ ରେ 6 ବାଳକ ରହିଲା ଯାହା ଭାଜକରୁ ଛୋଟ । ତେଣୁ ଭାଗଶେଷ= 6 ଓ ଭାଗଫଳ=51

ଉଦାହରଣ 1005÷ 5

step-1 10 କୁ 5 ରେ ହରଣ କରିବ । [ 52=10, 10-10=0 ] ଭାଗଫଳ =2, ବିଯୋଗଫଳ =0 ହେବ ।

step-2 0 କୁ ଓହ୍ଲାଇ , 5 କୁ 5 ସହିତ ହରଣ କରିବା 55=1, 55=0, ଭଜାଫଳ =1 ଓ ଭାଗଶେଷ=0 ହେବ । ଏହି ହରଣରେ , ଭାଗଫଳ 201 ଭାଗଶେଷ =0

4515÷ 9=501.6 , 1005 ÷5=201 , 3913÷ 13= 301, 1184÷ 16=74

(iii) 3676÷ 17, 65035 ÷29, 8036÷ 81

ସାଧାରଣତଃ ଏହିପରି ହରଣ ଯାହାର ଭାଜକ ପାଣିକିଆ ଜାଣି ନ ଥିବା କୁ ଆମେ ପ୍ରଣ।ଳି ରେ କରୁ । ପାଣିକିଆ ଖନ୍ଦ।ଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରି ହେଇଛି [5×1=5,5×2=10 ] ଏପରି ନ ଜାଣି ଥିବା ପାଣିକିଆ କୁ ନିଜେ ଗୁଣନ କରି ବାହାର କରି ପାରିବା । ଏହାକୁ ନେଇ ଓ ଆଗ ଶିଖିଥିବା ପ୍ରକ୍ରିୟା ନେଇ କୌଣସି ଭାଜକ ଥିବା ହରଣ କୁ ସହଜ ରେ କରି ପାରିବା ।

ଉଦାହରଣ 65035 ÷29

step-1 65 କୁ 29 ରେ ହରଣ କରିବା । 29×2=58, 65-58=7। ବାହାଗଫଳରେ 2 ଓ ଭାଜକ ବିଯୋଗଫଳ 627

step-2 0 କୁ ଓହ୍ଲାଇ , ଏବେ ଭାଜ୍ୟ 70 କୁ 29 ହରଣ କରିବ । [ 29×2=58, 70-58=12 ] ଭାଗଫଳ ରେ 2 ଓ ଭାଜ୍ୟ ର ବିଯୋଗଫଳ 12

step-3 3 କୁ ଓହ୍ଲାଇ, ଏବେ ଭାଜ୍ୟ 123 କୁ ପୁଣି 29 ରେ ହରଣ କରିବ । [29×4=116 , 123-116] ଭାଗଫଳ ରେ 4 ଓ ଭାଜ୍ୟ ବିଯୋଗଫଳ 7 ଲେଖିବା

step-4 5 କୁ ଓହ୍ଲାଇବା ଏବେ ଭାଜ୍ୟ 75 କୁ ପୁଣି 29 ରେ ହରଣ କରିବ । [ 29×2=58 ,75-58=17] ଭାଗଫଳରେ 2 ଓ ଭାଜ୍ୟର ବିଯୋଗଫଳ 17 ଲେଖିବା ହରଣର ଶେଷରେ , 17 ବଳକା ରହିଗଲା । ଏହି ହରଣର ବା ଗ ଭାଗଶେଷ 17 ଓ ଭାଗଫଳ= 2242

3676÷ 17=216, 4; 65035 ÷29=2242, 17; 8036÷ 81=99, 17